A légerő keletkezése

A mechanika tanítása szerint egy test (pl. repülőgép) megőrzi egyenes vonalú egyenletes mozgását, ha a rá ható erők eredője zérus. A vízszintes repülés során ezért akkora felhajtóerőt kell megtermelni, amennyi a repülési tömegből származó gépsúllyal éppen egyensúlyt tart.

A szárnyon keletkező felhajtóerő keletkezésének a megvilágításához válasszunk egy végtelen terjedtségű szárnyat, melynek tetszőleges keresztmetszetében a szárny alakját a 2. ábrán rajzolt rajzolt profil alkotja.

Ezáltal biztosítható, hogy az egymás melletti szárnymetszetek körül az áramlás teljesen azonosan megy végbe, azaz kétdimenziós síkáramlással van dolgunk.

A felhajtóerő kialakulásához a szárny alatt nagyobb nyomásnak kell uralkodni, mint a szárny felett. A közismert Bernoulli-egyenlet értelmében ekkor a szárny alatt kisebb a sebesség, mint a szárny felett. Ugyanakkor az is nyilvánvaló, hogy a szárnymetszettől távol a megfúvási sebesség (repülési sebesség) párhuzamos síkáramlásból eredően állandó értékű.

2. ábra Szárnyprofil-metszet

A profil alatti kisebb sebesség úgy is származtatható, mintha ott a közeg molekulái „szemben áramolnának” a megfúvási sebességnek, míg a profil felett a nagyobb sebesség az ott áramló közeg molekuláinak a megfúvási sebességtől való „menekülése” révén jönne létre. A „szembe áramlás és menekülés” által létrehozott áramkép egy potenciális örvény áramképének felel meg, amely az óramutató járásának irányába forgat. Emiatt a szárnyon kialakuló felhajtóerőt egy párhuzamos áramlás és egy potenciálos örvényes áramlás szuperpozíciója hozza létre. Az örvény erősségét a sebességnek egy – a szárnyat magába foglaló – zárt görbe mentén számított vonalintegrálja határozza meg [6].

Ha a szárnymetszet körül nincs cirkuláció, nem lehet felhajtóerő sem. Zsukovszkij – tétele szerint a végtelen terjedtségű szárny egységnyi hosszán a közeg sűrűségének, a megfúvási sebességnek és a cirkuláció szorzatának megfelelő felhajtóerő ébred. Súrlódásmentes közegben ez az erő merőleges a megfúvási sebességre, mert ellenállás nem keletkezhet.

A szárnyon keletkező cirkuláció – adott megfúvási sebesség esetén – az ún. állássszöggel lineárisan növekszik. Az állásszög a profil vonatkozási iránya (zérus felhajtóerő) és a megfúvási sebesség által bezárt a szög. A cirkuláció illetve a felhajtóerő lineáris növekedése azonban csak a kritikus állásszögig tart.

A 2. ábrába berajzoltuk a profilon ébredő nyomáseloszlást egy adott állásszögre. Más állásszögön a nyomáseloszlási görbéknek nemcsak a területe, hanem alakja is változik. Ez azzal jár, hogy a nyomáseloszlásból eredő légerő támadási pontja is állandóan vándorol.

A kritikus állásszögnél a profil szívott oldalán az áramlás leválik a felületről. Itt ugyanis a nyomás a legnagyobb szívás helyétől kezdve az áramlás irányába nő. Ez a nyomásnövekedés a kritikus állásszögnél olyan rohamos, hogy a határréteg mozgási energiája nem elegendő az áramlás közben a nyomásnövekedéssel szemben végzendő munkához, az ott levő levegőrészek megállnak, visszafelé kezdenek áramlani és az így meginduló örvények miatt az áramlás nem tudja követni a szárny felületét, hanem leválik arról.

3.1. A véges szárny

Egy véges szárnyon térbeli áramlás alakul ki, mert a szárnyvégen a szárny alól a kisebb nyomású helyre, a szárny fölé áramlik a levegő. A így keletkező szabad örvények a szárny hátsó kilépő élén lefelé irányuló sebességet indukálnak. Részletekbe nem bocsátkozva ez azzal jár, hogy véges szárnyon ideális közegben is keletkezik ellenállás, az indukált ellenállás. Ez az állásszöggel közel négyzetesen növekszik.

Valóságos súrlódó közegben ehhez még a súrlódási és nyomási (v. alak) ellenállásból származó áramlási ellenállások járulnak. A szárnyon ébredő nyomásmegoszlások számítása igen nagy matematikai apparátust igényel. Ennek elkerülésére a gyakorlati aerodinamika dimenzió nélküli tényezőkkel számol. Az ehhez szükséges gyakorlati képlet dimenzióanalízis útján nyerhető.

Az Y felhajtóerő a fentiek szerint a közeg r sűrűségétől, a v sebességtől és a szárny A felületétől függhet, így egy számszerűséget biztosító dimenzió nélküli K konstanssal az alábbi alakban írható fel:

Az SI mértékrendszer alapmennyiségeit (M-tömeg, L-hossz, T-idő) felhasználva a fenti összefüggés dimenzió-egyenlete:

MLT^-2 =1· ( ML^-3) ^u ( LT^-1) ^v L^{2 z}

A bal és jobb oldal azonos mennyiségeinek kitevőit egyenlővé téve az ismeretlen kitevőkre az alábbi értékeket nyerjük:

u = 1
v = 2
z = 1

A K = c_y/2 jelölést bevezetve a felhajtóerő számítására a következő összefüggést nyerjük:

Hasonló módon számítják a légellenállás nagyságát is:

A fenti összefüggésekben szereplő [Pa] tényező a dinamikai nyomás.

A c_y felhajtóerő - és c_x ellenállás-tényezőket az aerodinamikai intézetek és a gyártók éppen a fenti képletek alapján határozzák meg. Végtelen terjedtségű szárnyon a légerő-tényezők a geometriai állásszöggel arányosak a leválást jelentő ún. kritikus állásszögig:

c_y = a¥ a _g

A geometriai állásszög a megfúvási sebesség és a zérus felhajtóerőt eredményező megfúvási irány közötti szög.

A 3. ábrában bemutatjuk a véges szárnyon kialakuló térbeli áramlás hatását. A szárny felett befelé, alatta pedig kifelé tartó áramvonalak a kilépőélnél találkoznak, így ott az áramlási sebesség terjedtség irányú összetevője ugrásszerűen változik. E szakadási felület instabilitása miatt a szárnyvég folytatásába eső szabad örvénnyé alakul át. A szabad örvények indukálják az ábrán látható w indukált sebességet, melynek nagysága a terjedtség mentén változik [10].

3. ábra Véges szárnyon kialakuló térbeli áramlás

A 4. ábrában megrajzoltuk a véges szárny keresztmetszetében uralkodó megfúvási viszonyokat egy dA felületű szárnyelemen. Jól látható, hogy a profilt érő v_eff tényleges sebesség a megfúvási sebességgel azonos v¥ repülési sebesség és a w indukált sebesség eredőjeként működik.

A Zsukovszkij – tétel szerint a felhajtóerő a tényleges megfúvási sebességre merőleges, ugyanakkor azonban az ellenállás a haladás irányával ellentétes. Ily módon az ébredő felhajtóerőnek ideális, súrlódásmentes közegben is van a repülési irányba eső komponense, ami közegellenállásként hat, így keletkezésére utalva ezt az ellenállást indukált ellenállásnak nevezik.

4. ábra Véges szárny megfúvási viszonyai

Tekintettel, hogy v>>w, emiatt veff @ v, azonban iránya lényegesen megváltozik. Az a_i indukált állásszög tangense kis szögeknél magával az ívmértékben mért szöggel azonos:

Ennek felhasználásával az indukált ellenállás az 4. ábra alapján számíthatóvá válik:

A szárnyak építésekor a cél nyilvánvalóan az, hogy az elkerülhetetlen indukált ellenállás a lehető legkisebb legyen. Ennek vizsgálata arra vezetett, hogy a terjedtség mentén elliptikus cirkuláció-megoszlást kell megvalósítani, melyhez tartozó indukált sebesség:

Ha a dA felületelemen ébredő erőket a gyakorlati képletekkel írjuk fel, akkor a dinamikus nyomás és felületelem szorzatával végig is oszthatjuk az egyenletet, így közvetlenül megkapjuk az indukált ellenállás tényezőt:

Véges szárnyon is arányos a felhajtóerő tényező a geometriai állásszöggel, de itt az arányossági tényező más:

c_y= aa _g

Ugyanekkora c_y keletkezik végtelen terjedtségű szárnyon is az a_eff hatásos állásszög esetén, tehát írható:

a¥ _{a eff} = a (a _eff + a _i)

Hatásos állásszögön a 3. ábra alapján a geometriai és az indukált állásszög különbségét értjük. Ebből kifejezhető a véges szárny arányossági tényezője:

Ez az összefüggés felhívja a figyelmet arra, hogy a karcsúság csökkentése bár csökkenti az arányossági tényezőt, azonban ez egyúttal a kritikus állásszög növekedését is jelenti, amely a biztonságos repülés érdekében nagyon fontos. Az 5. ábrában a geometriai állásszög függvényében néhány karcsúságra megrajzoltuk a felhajtóerő tényező alakulását és feltüntettük grafikusan az indukált állásszög nagyságát is egy adott karcsúság és geometriai állásszög esetében.

5. ábra Felhajtóerő tényező változása

3.2. A repülőgépek ellenállása

A véges szárny súrlódásos közegben dolgozik, így az ideális folyadékban ébredő indukált ellenálláson kívül további ellenállásfajták is fellépnek:

• alakellenállás: a test mögött kialakuló örvényes nyomban csökkent nyomás uralkodik. Minél áramvonalasabb egy test, annál kisebb az örvényes nyom és vele az alakellenállás.
• súrlódási ellenállás: a körüláramlott test felületén kialakult határrétegben keletkezik.

E két ellenállás összegét a szárny vonatkozásában profilellenállásnak nevezik. Bár az állásszöggel az alakellenállás valamelyest növekszik, a profilellenállás mégis állandónak tekinthető a gyakorlati számításokban. Ily módon megállapítható, hogy a véges szárny ellenállása a profil és az indukált ellenállás összegeként keletkezik:

Egy áramlásba helyezett test – jelen esetünkben a szárny – polárisának nevezik a c_y = f(c_x) függvényt, melynek alakját egy konkrét szárnyra a 6. ábrában rajzoltuk meg.

Nyomatékosan fel kell hívnunk a figyelmet arra a tényre, hogy a polárisnak minden pontjához más és más geometriai állásszög tartozik, mely a fentiek alapján az alábbi kifejezéssel határozható meg:

Jól látható, hogy az állásszög a felhajtóerő tényezővel egyenesen arányos, de ez természetesen csak a kritikus állásszögtől kisebb szögekre érvényes.

6. ábra Szárny polárisa

A repülőgép azonban nem csak szárnyból áll, így az egész repülőgép polárisának meghatározásához tekintetbe kell venni a gép többi alkatrészein keletkező légerőket is. Elvi vizsgálatokhoz megengedhető az a közelítő feltételezés, hogy a teljes felhajtóerőt a szárny állítja elő, míg a többi alkatrészen csak ellenállás keletkezik. Ezek összegét káros ellenállásnak nevezik, így az egész repülőgép ellenállása a káros ellenállás és a szárny ellenállásának összege:

c_x = c_xk + c_xsz= c_xk+ c_xpr+ c_xi

A repülésben a jobb oldal első két tagjának összegét testellenállás tényezőnek hívják:

c_xo= c_xk + c_xpr

A 7. ábrában a repülőgépen ébredő ellenállások összefüggését tettük szemléletesebbé.

7. ábra Repülőgép ellenállásai